Решение дифференциальных уравнений. §24. Дифференциал функции Найти дифференциал функции в общем виде
Дифференциал
(первого порядка)
функции
-
это главная
часть ее приращения, линейная относительно
приращения аргумента. Дифференциал
аргумента равен его приращению:
.
Дифференциал функции равен произведению
ее производной на дифференциал аргумента
.
Основные свойства дифференциала:
1.
,
где-const.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
,
.
6.
,
.
Форма дифференциала первого порядка
не зависит от того, является аргумент
функции независимой переменной или
функцией другого аргумента. В этом
состоит свойствоинвариантности
формы дифференциала первого порядка
.
Дифференциалом
второго порядка
функции
называется дифференциал от дифференциала
первого порядка:
.
Аналогично
определяется дифференциал
третьего порядка:
.Дифференциал
n
-го
порядка:
.
Если
и- независимая переменная, то дифференциалы
высших порядков вычисляются по формулам:
,
,…..,
.
Если
,
,
то
,
где дифференцирование функциивыполняется по переменной.
Это имеет место и для дифференциалов
более высоких порядков.
Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.
Геометрически
дифференциал представляет собой
приращение ординаты касательной к
графику функции в точке
.
Если
приращение аргумента мало по абсолютной
величине, то
и.
Таким образом, дифференциал функции
может применяться для приближенных
вычислений.
Абсолютная
величина разности между истинным
значением какой-либо величины
и ее приближенным значениемназывается
абсолютной погрешностью
и
обозначается
.
Абсолютная
величина отношения абсолютной погрешности
к истинному значению называется
относительной
погрешностью
и обозначается
.
Относительная погрешность обычно
выражается в процентах
.
Если
приращение функции заменить ее
дифференциалом, то получим приближенное
значение приращения
.
В этом случае абсолютная погрешность
равна
,
а относительная погрешность будет
.
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть
требуется вычислить значение функции
при
некотором значении аргумента,
истинная величина которого нам известна,
но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью
,
.
Тогда
Отсюда
видно, что
.
Относительная погрешность функции выражается формулой
.
Пример
1.
Найти
дифференциал функции
.
Решение:
.
Пример
2.
Найти все
дифференциалы функции
.
Решение: ,
,
.
Пример
3.
Найти
для неявно заданной функции
.
Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную
,
тогда
.
Вычислим вторую производную
,
отсюда
.
Пример
4.
Выразить
дифференциал сложной функции через
независимую переменную и дифференциал:
,
,
.
Решение:
.
.
Пример
5.
Вычислить
приближенное значение
.
Решение:
Рассмотрим функцию
.
Полагая
,
и применяя формулу,
получим:
Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.
Решение:
Воспользуемся формулой
.
Полагая
,
,
имеем.
Следовательно, приближенное значение
площади круга составляет.
Пример
7.
Для функции
найти приращение ординаты касательной
и приращение функции при переходе
аргументаот значения
к
.
Решение:
согласно геометрическому смыслу
дифференциала, приращению ординаты
касательной соответствует дифференциал
функции
.
При
иполучим
.
Приращение функции находим по формуле
Следовательно,
приращение ординаты касательной равно
0,7, а приращение функции 0,71. Т. к.
,
то.
Пример
8.
Найти
дифференциал и приращение функции
в точке
и
.
Найти абсолютную и относительную
погрешности значения функции при замене
приращения функции ее дифференциалом.
Решение:
Имеем:
,
При
и
получим:
, .
Абсолютная
погрешность
,
а относительная погрешность
.
Пример
9.
При измерении
сторона куба
оказалась равной 4 см. При этом максимально
возможная погрешность измерения
находится в пределах
см.
Определить абсолютную и относительную
погрешности при вычислении объема куба.
Решение:
Объем куба равен
см.
Возможная
неточность измерения
.
Отсюда абсолютная погрешность .
Относительная
погрешность
.
Пример
10.
Найти
приближенно
.
Решение:
Полагаем
,
тогда
,
Если
принять
,
то
,
.
Найти дифференциалы указанных порядков от функций:
1.
,
-?.
Ответ:
.
2.
,
-?
Ответ:
.
3.
,
-?
Ответ:
.
4.
,
-?
Ответ:
.
5.
,
,
,
-? Ответ:
.
,
.
6.
,
-?
7.
,
-? Ответ:
.
8.
,
-? Ответ:
.
9.
-? Ответ:
.
10.
-? Ответ:
.
11.
,
-? Ответ:
.
12.
,
-? Ответ:.
13.
,
.
-?
Ответ:
,
.
14.
,
,
-?
Ответ:
,
.
15.
-?
Найти приближенное значение:
16.
.
Ответ: 0,811.
17.
.
Ответ: 1,035.
18.
.
Ответ: 0,078.
19.
.
Ответ: 1,9938.
20.
.
Ответ: 2,02.
21.
.
Ответ:3,03.
22.
.
Ответ:
.
23.
.
Ответ:
.
24.
.
Ответ: 0,1.
25.
.
Ответ:
.
26.
Определить, на сколько приблизительно
увеличится объем шара, если его радиус
см
увеличить на 0,2см. Ответ: 565
.
27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .
28.
Сравнить приращение и дифференциал
функции
.
Ответ:
,
.
29.
Вычислить
,
для функции
при
и
.
Ответ:
,
.
30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.
Ответ:
.
31. Найти приближенное значение из уравнения:
Ответ:
.
32.
Найти приближенно значение объема шара
радиуса
.
Ответ:
.
33.
Ребра куба увеличены на 1см. При этом
дифференциал
объемакуба оказался равным 12 см.
Найти первоначальную длину ребер.
Ответ: 2 см.
34.
Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал
площади круга оказался при этом равным
см.
Найти первоначальную величину радиуса.
Ответ: 3 см.
35.
Определить приблизительно относительную
погрешность при вычислении поверхности
сферы, если при определении ее радиуса
относительная погрешность составила
.
Ответ:
.
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y " из уравнения y=f(x) , то можно:
Примеры.
ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Показательно-степенной функцией называется функция вида y = u v , где u=u(x), v=v(x) .
Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.
Примеры.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x) , v=v(x) , С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.
Примеры.
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a ; b ]. Производная этой функции в некоторой точке х 0 Î [a ; b ] определяется равенством
.
Следовательно, по свойству предела
Умножая все члены полученного равенства на Δx , получим:
Δy = f " (x 0)·Δx + a·Δx.
Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f " (х 0) ≠ 0) главная часть приращения , линейная относительно Δx , а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx . Главную часть приращения функции, т.е. f " (х 0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х 0 и обозначают через dy .
Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f " (x ) в точке x , то произведение производной f " (x ) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:
Найдем дифференциал функции y= x . В этом случае y " = (x )" = 1 и, следовательно, dy =dx =Δx . Таким образом, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δx . Поэтому формулу (1) мы можем записать так:
dy = f "(x )dx |
Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f "(x ) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.
Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.
Справедливо и обратное утверждение.
Если для данного значения x приращение функции Δy = f (x +Δx ) – f(x) можно представить в виде Δy = A ·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x , то эта функция имеет производную в точке x и f "(x )=А .
Действительно, имеем , и так как при Δx →0, то .
Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
Примеры. Найти дифференциалы функций:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox . Дадим независимой переменной x приращение Δx , тогда функция получит приращение Δy = NM 1 . Значениям x +Δx и y +Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка
M 1 (x +Δx ; y +Δy ).
Из ΔMNT находим NT =MN ·tg α. Т.к. tg α = f "(x ), а MN = Δx , то NT = f "(x )·Δx . Но по определению дифференциала dy =f "(x )·Δx , поэтому dy = NT .
Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y =f "(u ) имеет вид dy = f "(u )du .
Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)) . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:
.
Следовательно, по определению
Но g "(x )dx = du , поэтому dy= f"(u)du .
Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u) , для которой u=g(x) , имеет тот же вид dy=f"(u)du , какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.
Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала .
Пример. . Найти dy .
Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим
.
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y 0 =f(x 0 ) и ее производной y 0 " = f "(x 0 ) в точке x 0 . Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x .
Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy =dy +α·Δx , т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy ≈dy или Δy »f "(x 0 )·Δx .
Т.к., по определению, Δy = f (x ) – f (x 0 ), то f(x) – f(x 0) ≈f "(x 0 )·Δx .
Примеры.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a ; b ]. Значение производной f "(x ), вообще говоря, зависит от x , т.е. производная f "(x ) представляет собой тоже функцию переменной x . Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).
Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y ""или f ""(x ). Итак, y "" = (y ")".
Например, если у = х 5 , то y "= 5x 4 , а y ""= 20x 4 .
Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y"""или f"""(x ).
Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y (n) или f (n) (x ): y (n) = (y (n-1))".
Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.
Дифференциалом аргумента называется его приращение dx = ∆ x .
Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента dy = f ′( x )∙∆ x или dy = f ′( x )∙ dx .
Замечание:
Сравнение дифференциала с приращением.
Пусть ∆ y и ∆xодного порядка малости.
Dyи ∆xодного порядка малости, т. е.dyи ∆yодного порядка малости.
α∙∆x– бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x.
.Дифференциал есть главная часть приращения функции .
Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую
более высокого порядка, чем приращение аргумента.
Геометрический смысл дифференциала функции.
dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.
Дифференциал равен приращению ординаты касательной.
Свойства дифференциала.
Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.
d ( u + v) = du + dv.
Дифференциал произведения d ( u v ) = du ∙ v + u dv .
Дифференциал сложной функции.
y = f(u), u = φ(x), dy = y′
x
dx =
dy = f ′( u ) du – инвариантность формы дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
dy
=
f
′(x
)∙
dx
,
отсюда
Гиперболические функции .
Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций.
Определения.
Из определений гиперболических функций следуют соотношения:
ch 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ.Производные от гиперболических функций.
Теорема Ролля.
Если функция f ( x ) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ], имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка и принимает на концах промежутка равные значения, то внутри промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка x = ξ, что f ′(ξ) = 0.
Геометрический смысл.
y
f (a ) = f (b ), k кас = 0.
A C B На гладкой дуге [ a , b ] найдется такая точка
f (a ) f (b ) С, в которой касательная параллельна хорде.
a ξ b x
Теорема Лагранжа (1736-1813, Франция) .
Если функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ] и имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка х = ξ, что f ( b ) – f ( a ) = f ′(ξ)∙( b – a ).
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Имеем гладкую дугу АВ.
На гладкой дуге АВ найдется такая точка С, в которой касательная параллельна хорде АВ.
Доказательство. Рассмотрим функциюF (x ) = f (x ) – λ x . Подберем λ так, чтобы выполнялись условия теоремы Ролля.
F(x) – определена и непрерывна на [a , b ], т.к. определена и непрерывна функцияf (x ),.
F ′(x ) = f ′(x ) – λ − существует,
Подберем λ так, чтобы выполнялись условия F (a ) = F (b ), т.е.f (a ) – λ a = f (b ) – λ b ,
По теореме Ролля найдется такая точка x = ξЄ(a , b ), чтоF ′(ξ) = 0, т.е.
Возрастание и убывание функции.
Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.
Под дифференциалом в математике понимают линейную часть приращения функции. Понятие дифференциала неразрывно связано с записью производной согласно Лейбница f′(x 0) = df/dx·x 0 . Исходя из этого, дифференциал первого порядка для функции f, заданной на множестве X, имеет такой вид: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Как видите, для получения дифференциала нужно уметь свободно находить производные. Поэтому нелишним будет повторить правила вычисления производных, дабы понимать, что будет происходить в дальнейшем. Итак, рассмотрим дифференцирование поближе на примерах. Нужно найти дифференциал функции, заданной в таком виде: y = x 3 -x 4 . Сначала найдём производную от функции: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . Ну, а теперь получить дифференциал проще простого: df = (3x 3 -4x 3)·dx. Сейчас мы получили дифференциал в виде формулы, на практике зачастую также интересует цифровое значение дифференциала при заданных конкретных параметрах х и ∆х. Бывают случаи, когда функция выражена неявно через х. Например, y = x²-y x . Производная функции имеет такой вид: 2x-(y x)′. Но как получить (y x)′? Такая функция называется сложной и дифференцируется согласно соответствующего правила: df/dx = df/dy·dy/dx. В данном случае: df/dy = x·y x-1 , а dy/dx = y′. Теперь собираем всё воедино: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Группируем все игреки в одной стороне: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, и в итоге получаем: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/dx. Исходя из этого, dy = 2x·dx/(1+x·y x-1). Конечно, хорошо, что такие задания встречаются нечасто. Но теперь вы готовы и к ним. Кроме рассмотренных дифференциалов первого порядка, ещё существуют дифференциалы высшего порядка. Попробуем найти дифференциал для функции d/d (x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), который и будет дифференциалом второго порядка для f(x) . Исходя из формулы f′(u) = d/du·f(u), где u = f(x), примем u = x 3 . Получаем: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Возвращаем замену и получаем ответ – 1– x 3 – x 6 , x≠0. Помощником в нахождении дифференциала также может стать онлайн-сервис . Естественно, что на контрольной или экзамене им не воспользуешься. Но при самостоятельной проверке правильности решения его роль сложно переоценить. Кроме самого результата, он также показывает промежуточные решения, графики и неопределённый интеграл дифференциальной функции, а также корни дифференциального уравнения. Единственный недостаток – это запись в одну строку функции при вводе, но со временем можно привыкнуть и к этому. Ну, и естественно, такой сервис не справляется со сложными функциями, но всё, что попроще, ему по зубам. Практическое применение дифференциал находит в первую очередь в физике и экономике. Так, в физике зачастую дифференцированием решаются задачи, связанные с определением скорости и её производной – ускорения. А в экономике дифференциал является неотъемлемой частью расчёта эффективности деятельности предприятия и фискальной политики государства, например, эффекта финансового рычага.В этой статье рассмотрены типовые задачи дифференцирования. Курс высшей математики учащихся ВУЗов зачастую содержит ещё задания на использование дифференциала в приближенных вычислениях, а также поиск решений дифференциальных уравнений. Но главное – при чётком понимании азов вы с лёгкостью расправитесь со всеми новыми задачами.
Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых
.
Эти слагаемые являются бесконечно
малыми функциями при
.Первое слагаемое
линейно относительно
,второе является
бесконечно малой более высокого порядка,
чем
.Действительно,
.
Таким образом второе слагаемое
при
быстрее стремится к нулю и при нахождении
приращения функции
главную роль играет первое слагаемое
или (так как
)
.
Определение
.
Главная часть
приращения функции
в точке
,
линейная относительно
,называется
дифференциалом
функции
в этой точке
и обозначается
dy
или
df
(x
)
. (2)
Таким
образом, можно сделать вывод: дифференциал
независимой переменной совпадает с её
приращением, то есть
.
Соотношение (2) теперь принимает вид
(3)
Замечание . Формулу (3) для краткости часто записывают в виде
(4)
Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим
график дифференцируемой функции
.
Точки
ипринадлежат графику функции. В точкеМ
проведена
касательная К
к графику
функции, угол которой с положительным
направлением оси
обозначим через
.
Проведем прямыеMN
параллельно
оси Ox
и
параллельно осиOy
.
Приращение функции равно длине отрезка
.
Из прямоугольного треугольника
, в котором
,
получим
Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:
Дифференциал
функции
в точке
изображается приращением ординаты
касательной к графику этой функции в
соответствующей её точке
.
Связь дифференциала с производной
Рассмотрим формулу (4)
.
Разделим обе части этого равенства на dx , тогда
.
Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной .
Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х .
Удобными обозначениями производной также являются:
,
и так далее.
Употребляются также записи
,
,
особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.
2. Дифференциал суммы, произведения и частного.
Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.
1 0 . Дифференциал постоянной равен нулю
.
2 0 . Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций
3 0 . Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой
.
Следствие . Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
.
Пример . Найти дифференциал функции .
Решение.Запишем данную функцию в виде
,
тогда получим
.
4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
Определение
.
Функция
называется заданной параметрически,
если обе переменныех
и
у
определяются
каждая в отдельности как однозначные
функции от одной и той же вспомогательной
переменной – параметра
t
:
где
t
изменяется в пределах
.
Замечание
.
Параметрическое задание функций широко
применяется в теоретической механике,
где параметр t
обозначает
время, а уравнения
представляют собой законы изменения
проекций движущейся точки
на оси
и
.
Замечание . Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.
а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:
где
.
б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:
где
.
Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.
Теорема
.
Если функция у
от аргумента
х задана
параметрически уравнениями
,
где
и
дифференцируемые по
t
функции и
,
то
.
Пример . Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.
Решение.
.